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IT. Soit, pour abréger, 
2n—1 In—5 In—2p+1 
ne Din SUR ART UUR 3 
Fume 2 4 2p . ® 
alors 
p=0 
Prenant la dérivée d'ordre n — 1, on a donc 
d' y p=o 
TN CHA DOME Or RE Pere ue (1) 
p—0 
pourvu que la série soit convergente. 
HI. Si 2p est inférieur à n — 1, la dérivée (n — 1)°* de x*”? 
est nulle. On doit done, dans l'égalité (5), supposer 2p > n — 1: 
tous les facteurs qui suivent À, sont positifs. En outre, 
À, . 2p (2p — 1)... (2p —n + 9) — 
(9n — 1)(2n — 5). (90 — 2p +1) , 
TE MEL D CL (2p — 1). (2p — n +2) — 
(2n — 1) (2n — 5)... (2n — 2p +1) 16125620 
2RAIG)... 20 182 .(2p—n +1) 
St 
(27 — 1) (2n — 5)... (An — 2p + 1).1.5.5.....(2p — 1) 
1.2.5...(2p —n +1) 
La formule précédente devient : 
dr yo 
dx'n: 
+ nn 5)...(2r— 92 1).4.5.5...(92p —1 
S (—1y! n )(2n—5)...(2n p+1).1.5.5...(2p ) pm (6) 
1 2.3...(2n—n+t1) 
__n—1 
É 15 |] 
IV. Comparant les expressions (1) et (6), nous avons done 
le développement annoncé : 
k n 
sin nx — (— 1)! 
de Dee AD 1 (A) 
(2n—1)(9n—5)..(2n—2p+1 . 5.5....12p—1) 2p-n+i | 
Det 1.2.5...(2p—n+1) SA EE | 
