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Cela posé, il s’agit de démontrer que le nombre des points 
M,Q,... M', est pair. 
Soient #, n' les nombres de valeurs réelles de x, répondant à 
y—=+ey——scin+n est pair (Corollaire Il). Supposons 
que, pour y — 0, l'équation F(x, y) — 0 devienne X = 0 (*). 
Les racines réelles de cette nouvelle équation déterminent les 
points H, K, … situés sur X’X, à des distances finies de l'ori- 
gine. Soit p le nombre de ces points, ou le nombre des racines 
réelles de X — 0. Comme on le voit à l'inspection de la figure, 
ces racines sont les limites communes des racines réelles, soit de 
l'équation 
(ne) =10 
soit de l’équation 
F(x, — €) = 0, 
qui ne croissent pas indéfiniment quand & tend vers zéro. Le 
nombre de celles-ei est done 2p (**). Conséquemment, le nombre 
des points situés à l'infini est n + n° — 2p. 
Remarque. — Le théorème peut encore être énoncé ainsi : 
Dans toute courbe algébrique, le nombre des points situés à l’infini, 
sur la courbe et sur une asymptote quelconque, est nécessairement 
pair. 
une droite comme une courbe fermée, dans laquelle un point situé à l’infini 
forme la jonction des deux bras qui s'étendent dans les deux sens opposes; 
ou à d’autres du même genre. 
(‘) On fait abstraction des valeurs infinies de +. 
(**) Le point H est la limite commune de G et G'; le point K est la limite 
commune de [et de L; etc. On voit que la démonstration serait en défaut 
si la courbe considérée pouvait avoir des points d’arrêt. Aussi avons-nous 
commencé par établir qu’elle n’en a pas. : 
