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II. THéorèMEe pe STAUDT ET CLAUSEN. — Soient n, n', n”, … les 
nombres premiers, impairs, tels que n — 1, n'—1,n"— 1, … 
divisent q + 1. Le q“"* Nombre de Bernoulli, B,, est donné par 
la formule 
- É 4:14 1 
— BD, — OS Re pt DEL 0 (C) 
dans laquelle E, est un entier, positif ou négatif. 
Démonstration. — A1 s’agit d'examiner quelles sont, dans la 
formule (A), les fractions réductibles à des nombres entiers. 
(Goo eue)! 
SNS 
A (15) — 
Lo 
L 
q étant impair, 3 = JAN 4 — 1. Donc la quantité entre paren- 
thèses est un multiple de 4; et, en conséquence, 
1 
à AM) "entier: 
2% Sin est un nombre composé, supérieur à k, 
1.2 3..(n—2) 
à q(n — 2, q) — entier ; 
d'après le Lemme I. 
3° Soit n premier, impair. 
On a 
A2 (19) = (n — 1 — - 
Par le Lemme IF, le second membre égale 
A+ (n—1)+Q(n —2) + 5(n —5)+ + + (n— 2)21+ (n — A1)A?, 
ou 
NUA — [ (ne — AJ + (n — 9) + + IH 1H) 
Ainsi 
A MDN S,:,, 1. (E) 
