inutile de revenir sur ce théorème, en y insistant un peu plus 
que la première fois. 
I. Commençons par rappeler une définition et quelques 
théorèmes (*). 
« Définition. — Par un point M, pris sur une surface S, on 
» élève une normale MM, ayant une longueur donnée {. Le lieu 
» des points M' est une surface S’ qui peut être dite parallèle 
» À S. » 
« THÉORÈME. — Si une surface S' est parallèle à la surfaceS , 
» réciproquement celle-ci est parallèle à S'. 
« TaéorÈmEe. — Les surfaces parallèles à une surface dévelop- 
» pable sont développables. 
Ty 
y 
« THÉORÈME. — Des surfaces parallèles S, S', S'', … appar- 
» liennent toujours à un système orthogonal. » 
CoroLLaiRE. 1. — Toute surface fait partie d’un système triple 
orthogonal. En effet, quelle que soit une surface donnée, S, on 
peut construire une infinité de surfaces S/, S”, … paralléles à S. 
CoroLLAIRE IT. — Le nombre des systèmes orthogonaux triples 
est infini (**). 
I. On connait peu de systèmes orthogonaux, sans doute à 
cause des difficultés que présente la recherche de l'équation des 
surfaces parallèles à une surface donnée S. Par exemple, on n’a 
pas encore, parait-il, écrit l'équation des surfaces parallèles à 
l’ellipsoïde. M. Cayley lui-même a reculé devant ce travail (***). 
Dans le Mémoire cité plus haut, j'indique, sans effectuer les 
calculs, le système triple déterminé par des tores elliptiques 
parallèles. Pour compléter la présente Note, je chercherai suc- 
cessivement : 
1° L’équation des tores elliptiques S, S', S'', … enveloppes de 
sphères dont les centres parcourent une ellipse E donnée ; 
(‘) Les passages guillemetés sont extraits du Mémoire cité. 
("”) Dans un très beau Mémoire sur les surfaces orthogonales (Journal 
de Liouville, t. XII, p. 242), M. Serret a émis, sous forme dubitative, 
cette opinion : Le nombre des surfaces susceptibles de faire partie d’un 
système triple pourrait bien être assez limité. On voit que l'hypothèse de ce 
Géomètre ne s’est pas réalisée. 
(") Annali di Malemalica, t. I, p. 545. 
