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à toute valeur de z de la forme indiquée, c’est-à-dire à tout 
système de valeurs de « et 5, correspondra un système de 
valeurs de x et y; comme « et peuvent toujours être supposés 
premiers entre eux, autant il y aura de manières de représen- 
ter z par la forme susdite, autant il y aura (pour le z considéré) 
de solutions distinctes de l'équation. On s'assure sans peine, 
d’ailleurs, que l'identité ci-dessus, où « et 6 restent indéter- 
minés, ne saurait être remplacée par aucune autre formule 
donnant l'expression de (a? + 562)5 sous la forme requise. 
» Quant à l'égalité 4? + 5.42=— 45, où 4? est facteur commun 
à tous les termes, elle ne conduit pas à une solution, car en 
écrivant comme on doit le faire 12+ 5.1°—4.15, on n'a pas 
un cube dans le second membre. 
» Quant, enfin, à l'identité 
» (a+ B}(a— 28) 16 — Da) + 27/0 (a — 4 (of — 08 + 6Ÿ, 
rapportée par M. Catalan, elle n’est manifestement qu’une 
transformée de celle qui précède. 
» IT. L'expression (a? + b?)# est assurément : un carré, — 
une somme de deux carrés, — une somme de quatre carrés. 
On ne peut pas affirmer qu’elle est généralement une somme 
de trois carrés effectifs, puisque (1? + 12)=—16, par exemple, 
ne l’est pas. Cependant, pour des nombres a, b premiers entre 
eux (ou simplement inégaux), on peut mettre: en évidence, 
par des formules, que l'expression considérée est toujours une 
somme de trois carrés. 
» 4° Si a et b sont premiers avec 3, posons l'identité 
» + (a+ 5h) = (a + hÿ + (a + 2h) + (2h) (), 
dans laquelle on prendra a premier avec ; il s'en déduit, par 
l'emploi répété de la formule connue 
D (ar + BE + y) = (0 + BR — 9°) + (227) (267), 
(‘) Lettre de M. Catalan à D. B. Boncompagni, en date de « Liége, 
44 novembre 1880 ». 
