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XCII — Sur les roulettes et les podaires (‘). 
Soit une courbe ACB, roulant sur une droite fixe DE, en 
entrainant un point M, de manière à lui faire décrire une rou- 
lette MM'M”... Soit ensuite PP'P”... le lieu des projections du 
point M sur les tangentes DCE, D'C'E", … à la courbe ACB, 
c'est-à-dire la podaire du point M (supposé fixe) relativement 
à cette courbe (supposée fixe). 
Comme le fait Legendre (**), rapportons la podaire au point M, 
pris pour pôle, et à un certain axe Mx : soit u— f(w) l'équation 
de cette ligne. Désignons par 0, r, R les rayons de courbure des 
trois courbes, aux points correspondants C, M, P. Désignons 
encore par v la droite MC. On trouve aisément 
| et 
9 
(u° + u?) 
4 
DEEE, RE 
1® 
uu”"—u 
D'ailleurs, 
(u° + 1) 
7 — 
ROUE Tu CE 
La comparaison des deux dernières valeurs donne la relation 
suivante, qui n’a peut-être pas été remarquée : 
==, (A) 
On a donc ce théorème : 
LES 
La somme (***) des courbures de la roulette et de la podaire, 
en deux points correspondants, est égale à l’inverse de la distance 
comprise entre le point décrivant la roulette et le point ou la 
courbe roulante touche la droite fixe. 
(‘) Bulletin de l'Acadèmie de Belgique, 1869. 
(*) Traité des fonctions elliptiques, t. Il, p. 588. 
(**) I s’agit ici, bien entendu, de somme algébrique. 
