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CCX VIII. — Remarques sur un théorème de Fermat. 
(Juin 1884.) 
I. Ce théorème, l’un des plus importants de la théorie des 
Nombres, a été démontré (de la même manière) par Lagrange 
et Legendre (*). Habituellement, on l'énonce ainsi : 
Tout diviseur d’une somme de deux carrés, premiers entre eux, 
est également une somme de deux carrés, premiers entre eux (*”*). 
Mais ces grands Géomètres, et leurs successeurs, ont négligé 
de faire observer que le diviseur dont il s’agit peut être la somme 
de deux carrés fractionnaires (**”). 
Par exemple, 
DC NE RAMAIT a + ER 
II. De la double identité classique : 
(a + D) (a +) — (ae Æ 09) + (08 ba), (1) 
on conclut 
(a + b'){e? + = (aa + 208 — af*} + (ba + Q2aas — bB’), 
ou 
RTE de + Das — à) " È  2aaB — D? 
a + f? 
ln 
a + fÿ 
En général, les fractions entre parenthèses ne sont pas 
réductibles à des nombres entiers |"). Conséquemment : 
() OEuvres de Lagrange (publiées par Serret), t. II, p. 211; Théorie 
des Nombres, de Legendre, t. [, p. 205. 
(*) Legendre dit, à l'endroit cité : « tout diviseur de la formule t? + u*.. » 
Je ne pense pas que {° + «? soit une formule. 
(**) Très probablement, l’omission a été volontaire; la décomposition en 
deux carrés entiers étant seule efficace. 
(*) a, B sont des entiers arbitraires, positifs ou négatifs. 
