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CCXX. — Courbes ayant même longueur qu’une 
ellipse donnée. 
(Janvier 1885.) 
I. Soit une ellipse E, tracée sur un cylindre vertical, et 
représentée par les équations 
Z 
LU — R', 0 —iter. (1) 
y 
Soit, en second lieu, une courbe C, à double courbure, ayant 
pour équations 
HR NME Si. (2) 
On peut disposer du rayon R' et du paramètre a, de manière 
que, dans les développements des deux cylindres projetants, la 
transformée E’ de E, et la transformée C' de C, soient égales. 
S'il en est ainsi, un arc quelconque de C, et l’are correspondant 
de E, auront même longueur. 
On satisfait aux équations (1), en prenant 
x —=Rcoso, y—Rsino, z—Rtigesino. (5) 
De mème : 
R° 
x —=R'cose, y— R'sine, 27'—=—sinv'cos. (4) 
a 
La condition d'égalité, entre les transformées E’, C', donne les 
relations : 
Ro—Ro,- 72 —;; (5) 
lesquelles sont vérifiées par 
! 
@Q —= 
1 
Si RI=9R; ta—°2hRocotz 
Les équations de la courbe C sont donc : 
o) - o) . 
æ —2kRcos—, y —?2Rsin—, z'=Ritgosino. (6) 
