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d'un point P de Z. A cause de l'hypothèse sur l'angle zGP, les 
triangles GOm, Ppm, évidemment semblables, sont isoscèles : 
mp —= Pp. Pour une ligne de niveau, l'ordonnée Pp est con- 
stante; done mp — z — const. Autrement dit : toutes les lignes de 
niveau, de la surface ©, se projettent, sur le plan de l’une d’elles, 
suivant des conchoïdes de celle-ci, relativement au pôle O (*). 
IV. Équation de la surface. — Si la directrice amb est repré- 
sentée par u — af(o), il est clair que l'équation de ZX est 
u = af(o) + z. (1) 
V. Normale. — La normale à 3, au point P, étant normale 
à la ligne de niveau qui passe en P, se projette, horizontalement, 
suivant la normale, en p, à la conchoïde cpd. D'après une pro- 
priété connue, cette normale pn passe en un point fixe n, situé 
sur la perpendiculaire à Omp, menée par le pôle. Donc les nor- 
males à la surface ©, en tous les points d’une même génératrice, 
rencontrent une droite fixe nQ, parallèle à la directrice Oz. 
VI. Paraboloïde normal. — Chacune des normales consi- 
dérées rencontre GH et nQ. En outre, elle est contenue dans 
un plan perpendiculaire à GH. Conséquemment, le lieu de ces 
droites est un paraboloïde hyperbolique, conformément à un 
théorème connu. 
Addition. — (Novembre 1886.) 
VII. Lignes de plus grande pente. — Elles se projettent, sur le 
plan horizontal, suivant les trajectoires orthogonales de la direc- 
trice amb et de ses conchoïdes. D’après la formule (1), dans 
laquelle z doit être considéré comme un paramètre, l'équation 
différentielle des conchoïdes est 
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(‘) Quand la directrice amb est rectiligne, la surface, nommée hyperboloïde 
conchoïdal, est fort intéressante. Le modèle en a été construit par Bardin et 
par M. Muret. De plus, au mois de juin 1870, M. Welsch, alors élève à 
l'École polytechnique, a publié, sur cette même surface, une étude et une 
épure fort bien faites. J’ignore ce qu’est devenu ce jeune Géomètre. 
