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N;(n) représentant le nombre des diviseurs impairs de n (*). 
L'égalité (6) se transforme donc en 
B 1 
ne LL E 
puis, à cause de 
TR 
Sema er 
A B & 2 À 1 
Rp D 'etng" x D(— HN) (L) 
0 1 
se s : A 
Ainsi, la fonction très complexe, w> est, assez facilement, 
développable suivant les puissances de q. 
VIIL. Remarques. — 1° D’après ce qui précède, l'égalité (C) 
peut être écrite ainsi : 
q g g 
© + 2 ————— +5 se 
0e (A 9) (1 — q°) (1—9) Ag) —9 
— ETC )q” x Ÿ— D'PN;(n 
1 
.. 
(M) 
2° La combinaison des égalités (L), (M) donne cette autre 
identité, peut-être nouvelle : 
Soin)" = S (— tyran) g" x Ÿ o(2)g". (x) 
0 0 0 
IX. Équations caractéristiques. — Si l'on pose 
Jai 040 
RD mue (7) 
() Ni(n) est aussi le nombre des diviseurs du plus grand diviseur impair 
de n. 
(”) Recherches, p. 5. ®;(n) est le nombre des décompositions de n en 
parties impaires, inégales. 
