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CCXLVI. — Sur l’Hélice-caténoïdique (‘). 
(Août 1874.) 
I. TuéorÈue. — Soient une chainette AC, située dans le plan 7x, 
et une hyperbole équilatère AH, située dans le plan xy (**). 
Ces deux courbes ont même axe OAX, même sommet À ; de plus, 
Oz est la directrice de AC. Cela posé, la courbe AMI, projetée 
suivant les deux courbes données, est une hélice. 
Les équations de cette courbe sont : 
(ei | & —? 
I—— |" +e 
D 
Si l’on élimine x, on trouve 
L4 Z}\ 
2{4 pal 
LÉ FENTE: . 
Considérons le cylindre qui contient la chaïnette AC et la 
courbe AMI ; soit PM une génératrice de ce cylindre, limitée 
aux deux courbes. La dernière équation exprime que 
CUS LE 
PM == = e® — € ï . 
Mais, d’après une propriété connue, le second membre repré- 
sente aussi la longueur de l'arc AP. Donc 
PM — arc AP. C.Q.F. D. 
IT. Si une hélice-caténoïdique est éclairée par des rayons 
parallèles, l'ombre de cette courbe, sur un certain plan, est une 
hyperbole équilatère (***). 
(‘) Réponse (indirecte) à une question proposée dans la Nouvelle Cor- 
respondance malhématique (1. 1, p. 67). 
(**) Le lecteur est prié de faire la figure. 
(***) N'est-ce point au Professeur Guillery que l’on doit le théorème 
suivant, attribué parfois à Th. Olivier : L’ombre de l’hélice ordinaire peut 
être une cycloïde ? 
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