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Menons OR perpendiculaire à HS : OR — OH sin GOH. 
L'égalité (2) devient 
P.OG.R = const. (3) 
Comparant avec la relation (1), nous avons donc 
OR — const. ; 
ce qui est le théorème de Liouville. Mais nous pouvons l’énoncer 
ainsi : 
Soit MT la tangente, en M, à une ligne géodésique AMB. Si, 
par le centre de l’ellipsoïde E, on fait passer un plan parallèle 
au plan tangent en M, la tangente HS à cette section centrale, 
parallèle à la tangente MT, est à une distance constante du centre. 
IT. Remarques. — 1° Le lieu du point R est une courbe 
sphérique. 
2 La droite HS, tangente à l’ellipsoïde E, est tangente à la 
sphère S ayant O pour centre, et OR pour rayon. 
3° Le plan tangent, en H, à l’ellipsoïde, est parallèle au plan 
GOMT. Si celui-ci était perpendiculaire à FGH (©), le premier 
plan coïnciderait avec celui qui est tangent, en R, à la sphère S; 
et alors la droite RS serait génératrice d’une développable 5, 
éirconserite à l'ellipsoïde et à la sphère. Par suite, le lieu du 
point H serait une polhodie. Mais il n'y a pas de lieu du point H, 
attendu que le mouvement de la droite RS n'est pas déterminé 
par les conditions du problème. 
(*) Cette hypothèse, que rien ne justifie, m'avait paru résulter du texte 
de Liouville (toc. cit.). Naturellement, elle conduit à des résullats absurdes, 
inutiles à rapporter. (Juin 1887.) 
