(9%) 
Par hypothèse, 
AC’. BA'.CB' — BC'. CA" AB’. 
Conséquemment, 
AG':BAT/CB = BC ACATABE (2) 
C Q.F.D. 
IT. Remarque. — On peut dire que les points P, Q sont 
associés. Cela posé : si P est le centre de gravité, Q est le point 
de Lemoine; si P est un point de Brocard, Q est l’autre point 
de Brocard; etc. 
€CCLHII. 
Problème de Probabilités (‘). 
(Novembre 1884.) 
1. Combien y a-t-il de nombres de n chiffres, composés, chacun, 
de p chiffres donnés? ou encore : 
De combien de manières peut-on remplir n cases données, avec 
p lettres données, a, b,e, …,f, g, chaque arrangement devant 
contenir les p lettres ? 
Soit o(n, p) ce nombre de manières. Considérons les arran- 
gements composés de x» — 1 lettres, et contenant, soit les p 
lettres données, soit seulement p — 1 de ces lettres. 
1° A la droite de chacun des premiers, apportons, successive- 
ment, chacune des p lettres a, b, c, …, f, g. Nous obtiendrons 
po(n— 1, p) des arrangements demandés. 
2 Parmi les arrangements composés de » — 1 lettres, il y en 
a fn — 1, p — 1) qui ne contiennent pas a, g(n — 1, p — 1) 
qui ne contiennent pas b; etc. À la droite de chacun, écrivons 
la lettre manquante : nous formerons po(n — 1, p — 1) nouveaux 
arrangements, faisant partie de ceux que nous cherchions. 
L’équation du problème est donc 
q{n, p) = plate — 1)p) ++ qu — 1, p—1)]("). (1) 
(*) Extrait d'un Traité, inédit. 
(‘*) Dans mon cours à l’Université, j'avais obtenu cette équation (1) au 
moyen d'un raisonnement ineæact; ct, en conséquence, je la croyais fausse. 
M. Beaupain, l'un de mes meilleurs élèves, me communiqua la démonstra- 
tion précédente. 
