(104) 
Elle se change en 
me ab a(a + 1)b(b + 1) 
(@+06+ 1) (arb+tja+6+2)F() 
(6) 
Ainsi, le premier membre de l’égalité (5) est la somme des 
n + À premiers termes de la série (6). 
XI. Etude d’une série. — Pour plus de simplicité, faisons 
abstraction du premier terme, et posons : 
ab a(a + 1)b(b +1) 
ae DO) ee a bob CO | 
a(a +4). (a+ n—1)b(b+ 1). (b+ n —1) | (7) 
S,=U + Ua +: +Uu,. (8) 
D'après l'égalité (5) : 
poele nt 2e (es re DORE CESSER 
(a+b+1)..(a + b+ n)T(n +1) 
1+S, (a+n)(b+n), 
2 
u ab 
ou, ce qui est équivalent, 
(a+ n)(b+n) 
S,—=—1 + te : (10) 
ab 
Ainsi, La somme S, s’exprime, fort simplement, au moyen de u,. 
XII. Suite. — On a 
Ur (a+ n)(b+n) 
(11) 
u nella+ben+l) 
De là résulte que la série est toujours convergente (*). En effet, 
{ EE 
in + DE —»| ne DE ——1 (*). 
u 
dEbEn I 
nm 
(‘) Les constantes a, b sont supposées positives. * 
(‘*) Traité élémentaire des séries, p. 23. 
