(105) 
Par suite, 
lim.S, = S— —1 + = limfla + n)(b + nju,]. (12) 
a 
Pour évaluer cette limite, nous nous servirons d’une propo- 
sition auxiliaire. 
XIIT. THÉORÈME. — Soient quatre nombres a, b, a’, b', tels que 
a+ b— a" + b', et soit x une variable indéfiniment croissante. 
On a 
s Fa + x)F(b + x) 
Le Parc) (b x) % (3) 
Posons 
__ Fa+zx)Tb+x) 
Te NB cl 
ou, ce qui revient au même : 
B(a + x, b+ x) 
1 Bt +2, b + x) 
Supposons que b’ soit le plus grand des quatre nombres 
donnés. Nous aurons D — a — b — a' > 0. 
D'après le théorème d’Euler, exprimé par l'équation 
MO (oEEr bi a)n 
PT Bla’ + à, b— a) 
(‘) Tome I, page 156. En passant , je ferai observer que cette équation 
revient à celle-ci : 
T(p}T(m)T(q+m) _ T(p)T(g+ m) 
T(p+m)T(g)T(m) T(g)rim+p)" 
laquelle est évidente. 
