(12 ) 
ou, ce qui revient au même : 
u=é +++ d, x—à+b—c"—®,) 
y = (ac + bd), — 2 (ad + bc). 
/ 
(4) 
De ces valeurs résulte l'identité connue : 
(a+ 0? + + dY=(a+b—c—d)+h(ac+<bd) +A{adrbc} (); (5) 
d’où nous aurions pu partir. 
VI. Remarques. — On a vu (IV, 4°) que : des trois nombres 
X, V, Z, un seul est impair. Conséquemment, dans l'application 
des formules (4), on devra prendre a, b, c, d de manière que 
a? + b? — «2 — d? soit impair. En d’autres termes : parmi les 
indéterminées a, b, e, d, une seule doit être paire, ou une seule 
doit être impaire. 
2 Si l’on admettait que, des trois nombres x, y, z, deux, au 
moins, sont premiers entre eux, les formules (4) donneraient, 
je pense, toutes les solutions de l'équation (1). 
CCLXIV. — Nouvelles propriétés des fonctions X, (”). 
(Janvier 1887.) 
I. Première propriété. — Soit 
2 9° 2r 
A,—=1 T3 Cri Pr se Li RaCrren (1) 
ou, par une sommation facile, 
1 
À,  i (1 — 2x*)"dx. (2) 
0 
(‘) Elle comprend, comme cas particulier, l'identité (5). 
(‘*) Addition à la seconde Note sur les fonctions X, ( Académie de Belyique, 
août 1886). 
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