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X. Tuéorèue. — La fonction X, satisfait à l'équation 
dr#iX 
2 \p+1 n 
ex, de mo | 
LE EER v ER PR REA EL I ARR re! M 
ARILC 1) dx di 9 ( ) 
Te À 
dans laquelle À, est un coefficient numérique (*). 
XI. Tuéorème. — La fonction X, satisfait à l'équation 
ou Le us X,dx — (x —1} “= ; (P) 
p désignant le nombre des intégrations. 
XII. THÉORÈME (**). — Si l’on prend les dérivées successives de 
la fonction (x?—1)}", la dérivée d’ordre n—p est divisible, algébri- 
quement, par la dérivée d'ordre n +p : le quotient égale (x? — 1}. 
XIII. THÉORÈME Xi+X++X, 
JXERAUXES 
ie Ne a el 
[ $ dx dx 
ae ‘4 UE (S) 
2/1 — xe VA— x | 
XIV. THÉORÈME. (n + 1)X, + nX; +. +X, 
dX, 14 
1 ENdR 
EE "fi ——— (x. (X) 
QVA— x £ VA4— x 
XV. TéorèmE. — Si les 2p+1 inconnues a, P, y, …, À satis- 
font, de toutes les manières possibles, à la condition 
u+f+y+.e +Iixn, 
on «a 
= Satin PX v+p , 
1.5.5..9p—1 DA Xe (A') 
(*) Pour abréger, nous supprimons les démonstrations de ce théorème 
et des théorèmes suivants. Elles sont développées dans les deux Mémoires 
intitulés : Nouvelles propriétés des fonctions X,.. 
(**) Énoncé, en 4884, par M. Lucien Lévy. 
