(159) 
€CCLXIX. — Sur le théorème de Wilson. 
(Août 1887.) 
I. Le théorème de Wilson (*) peut s’énoncer ainsi : Le nombre 
entier 2n + À est premier ou composé, selon que le produit 
1.2.5 ..2n, augmenté de l'unité, est ou n’est pas multiple 
de 2n + 1. On y peut joindre les remarques suivantes (**) : 
1° Si 2n + 1 est composé, mais non égal au carré d’un nombre 
premier, 
1.2.3..n —= JC (2n + 1); (1) 
2° Si 2n + 1 est le carré d’un nombre premier, 
(1.2.5. nÿ — JR (22 + 1); (2) 
3° Si 2n + À est compose, 
1206202741) (3) 
Démonstrations. — 1° Soit 
On + 1 = ab; 
a étant supérieur à 2 et inférieur à b; de sorte que l’on ait 
On AD 0 En: 
Les diviseurs conjugués, a, b, se trouvent ainsi dans la suite 
1.2.5... n. Donc 
4,9.5...n — JiL(ab) = MT (2n +1); 
2PSS) 
Qn El — De 
p étant premier, on doit prendre a = b — p ; le produit 
1 AE 3 NN —= JC (p), 
puis 
(1.2.3... n) — JU (2n + 1). 
(*) Nouvelle Correspondance mathématique, &. I, pp. 32 et 110. 
(‘*) Elles sont fort simples, mais n’ont peut-être pas été faites. 
