(151) 
côtés AF, BE de l’un, coïncident (en direction) avec les diago- 
nales AG, BH de! l’autre : les derniers côtés EF, GH sont 
parallèles. 
Même démonstration. 
IV. Leume IV (Réciproque du Lemme 1). — Soient deux 
quadrilatères ABCD, ABEF ayant un côté commun AB, dont 
les diagonales coïëncident (en direction), et dont les derniers 
côtés CD, EF sont parallèles : ces quadrilatères sont, simulta- 
nément, inscriptibles ou non inscriptibles. 
Si ABCD est inseriptible, les angles DCA, DBA sont égaux. 
Mais, à cause des parallèles, DCA = FEA. Donc DBE — FEA, 
et le quadrilatère AFEB est inscriptible. 
V. Lune V (Réciproque du Lemme I). — Soient deux 
quadrilatères ABCD, ABGH ayant un côté commun AB, dont 
les cotés AD, AH, BC, BG coïncident deux à deux (en direction), 
et dont les derniers côtés CD, GH sont parallèles : ces quadri- 
latères sont, simultanément, inscriptibles ou non inscriptibles. 
En effet, les angles correspondants BCD, BGH, sont égaux. 
VL Tuéorène |. — Soient deux quadrilatères inscriptibles 
ABCD, ABEF ayant un côté commun AB, et dont les diagonales 
coincident (en direction). Si l’on prolonge les cotés BE, AF 
jusqu’à ce qu’ils rencontrent, en H, G, les cotés AD, BC; la droite 
GH sera parallèle à CD, EF et le quadrilatère ABGH sera 
inscriptible (”*). 
Si HG n'est point parallèle à EF, soit HG’ cette parallèle (**) : 
ABG'H est inscriptible. Menons AG, qui rencontre en F' la 
droite EF : BEF'A sera inscriptible. Mais, par hypothèse, BEFA 
est inscriptible; done F' coïncide avec F. 
VII. Remarque. — Dans l'hexagone DFECGH : 1° les côtés 
DF, GC, et la diagonale HE, concourent en B; 2° les cotés CE, 
(‘) Le théorème de M. Mannheim est un cas particulier de celui-ci. 
(*) Non tracée sur la figure. 
