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» celle de A'A”, on trouvera pour produit une somme de quatre 
» Carrés dont chacun sera divisible par A’A'; de sorte qu’en 
» divisant tout par A’?, on aura 
« AA — (A — op — Gq — yr — 95) + (ag — Bp + ys — dr) 
+ (ar — y p + 0q — Es) + (as — dp + Br — > q). 
» Cela posé, si on a A°”— 1, la proposition sera démontrée ; 
» mais si on a A” > 1, on procédera de la même manière pour 
» obtenir un nouveau produit AA’!" exprimé par quatre carrés, 
» et dans lequel on aura A”” < A”. Continuant ainsi la suite des 
» entiers décroissants À, A', A”, A’, etc., on parviendra néces- 
» sairement à un terme égal à l'unité; donc alors le nombre 
» premier À sera exprimé par la somme de quatre carrés (*). » 
(A) 
N—p+q +r + s — AA; (1) 
Soit 
et, par conséquent, À > V\. Un nombre donné, N, n’admet 
pas, nécessairement, un diviseur premier, supérieur à VAN. Par 
exemple, si N — 27, le plus grand facteur premier de N est 5. 
Legendre ne démontre donc pas le théorème énoncé : il prouve, 
tout au plus, celui-ci : 
Si un nombre N est la somme de quatre carrés, tout diviseur 
de N, supérieur à VAN, est la somme de quatre carrés. 
(B) 
= D'après la Remarque (A), la proposition ne serail pas 
démontrée. 
(C) 
On doit avoir, non 
mais 
il s’agit de la valeur numérique de p — «A’. 
(‘) Remarque (E). 
