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D). 
La formule citée est celle d'Euler : 
(pt + gd +r + s)(p? + q+r* +5"? 
= (pp + qq + rr + ss Ÿ + (pq — qp'+ rs — sr') (2) 
+ (pr — qs' — rp + sq) + (ps + qr' —rq — sp). 
Si l’on fait : 
p=p—aA", q —q—f$A, r'=r — yA', s°—s— dA’", (3) 
elle devient 
AAA — [pt + q +7 + 8 — A'(pa + 6 + ry7 + s0)f 
+ [pig — BA") — g(p — À") +r (s — dA”) — s(r — 7A')f 
pire AN)= (SA) r(p pan )Eers (qe BA’)f 
+ [P(s — JA!) + q(r — YA) — r(q — BA’) — s(p — aA')F. 
Le second membre égalant 
LAA' — A'(pa + qB + ry + s0)F + [(æg — Ep)A' + (78 — dr)A' 
+ (ar — yp) A" + (dq — 6s)A’| + [us — dp) A" + (Br — rg)A'}, 
il reste 
AA" — (A — ap — Bq — yr — ds) + (aq — Bp + vs — dr) (4) 
+ (ar — yp + 0q — Bs) + (as — 9 + Gr — yq), 
comme l'écrit Legendre. 
(E) 
On a vu, dans la Remarque (A), que le théorème énoncé n’est 
nullement démontré. Il en est de même, par conséquent, pour 
le théorème de Fermat : « Un nombre quelconque est la somme 
» de quatre ou d’un moindre nombre de carrés » (*). 
(*) Théorie des Nombres, t. 1, p. 215. L'illustre Auteur se contente de 
dire : « C’est une conséquence immédiate de la proposition qu'on vien 
» de démontrer, et du lemme qui la précède. » 
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