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CCLXXVITI. — Lettre à M. Battaglini (‘). 
Monsieur le Rédacteur, 
J'ai reçu, il y a quelques jours, par l'entremise de mon 
Collègue Mansion, la dernière livraison du Giornale di Mate- 
matiche. À la page 155, on lit ceci : 
« La serie a termini positivi 
D UHU+e+U, + 
» è convergente, se tutti i suoi termini decrescono col crescere 
» di n,e se e inoltre, per n— ©, lim nu, — 0... ». 
Autrement dit (si je comprends bien) : 
« La série à termes posilifs 
D WU ++ +U, +. 
» est convergente, si tous les termes décroissent quand n croit, 
» et si, en outre, pour n — , lim nu, — 0 ». 
Cette proposition, émise, il y a soixante ans, par L. Olivier 
(Journal de Crelle, 1. IL, p. 54), est fausse, ainsi que l’a montré 
l'illustre Abel (**). Comme son devancier, votre Collaborateur 
pense que : la série est convergente, si la somme 
Uni ts UTES LS OUDNE 3 Us, 
tend vers zéro, quand n augmente. Or, cette hypothèse n'est 
pas admissible; car la série (***) | 
1 sl 1 | 
0 + ————————— +... 
——— + res + 0 00 + ———— 
ALPINE NE (n+1) P(n+1) (2n+1) P(2n+1) 
(‘) Publiée dans le Giornale di Matematiche (septembre 1887). 
(*) OEuvres d’Abel, publiées par.M. Holmboë (1{r< édition, t. 1, p. 1114). 
(*") Considérée par Abel. 
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