( 200 ) 
Ainsi, le coeflicient de z" est 
(N, 1) — 2(N, 2) + 3(N, 3) — - + N(N, N). 
Soit maintenant G(N) le nombre des diviseurs de N. Il est 
visible que, dans le premier membre de (A), le coefficient 
de z' est 
G(N)— G{N — 1) — GIN— 2) + G(N-— 5) + G{N — 7) —G(N—19) > 
On a donc cette relation entre deux fonctions numériques, bien 
différentes : 
(N, 1) — 2(N, 2) + 3(N, 3) — +. + N(N,N) “ 
—G(N)— G(N—1)—G(N—92)+G(N—5)+ GIN—7)—.. (*). 
Application. — Soit N — 19. On doit trouver 
(49,4) — 2(19, 2) + 519, 3) — 4(19, 4) + 
— G49) — G(18) — GA7) + G(14) + G(12) — G(7) — G(5); 
ou (**) 
1—2.943.24—4.18+5.5—2—6—2+4+6—2— 3; 
ce qui est exact. 
IV. 
Si j'avais sous les yeux les Mémoires de Liouville, je pour- 
rais, peut-être, tirer quelques conséquences de cette égalité (B). 
En attendant, si z(N) représente chacun des deux membres, 
on a (sauf erreur de calculs) : 
(2) —1, (3) 
D 18) 
u(42)—4, (13) 
——1, 54) ——1, ©(5) —=—3, (6) 
—1, (9) —=2,  ©(10)—1, (11) —2, 
= || s(A4)=—1, ©(15)—#4,., (55) 
Ces coefficients semblent osciller entre deux valeurs extrêmes. 
Qu'en pensez-vous? 
(") Est-elle connue ? 
(**) Recherches.., Table 1. 
