(295) 
puis le plan diamétral conjugué à ces cordes. Celles-ci seront 
principales si les cosinus a, b, c satisfont aux conditions connues : 
Not DD Bet A'P'E Bec Rat Aer B'ar-rBl 
== == —— 5 
a b c G) 
On sait que, s étant la valeur commune des trois rapports, 
(AS) ARE SAR pe AS SpA AE) } 
RES) ABB BR — 0 (‘): @) 
Cette équation, du troisième degré, a, au moins, une racine 
réelle. Par conséquent, dans toute surface du second ordre, il 
existe, au moins, un système de cordes principales (**). 
Il. Réalité des racines. — Prenons une de ces droites pour 
axe des z : les équations (5) devront être vérifiées par a — 0, 
D /c—;:1;ice quiexigeique 
DOM BE D AE (5) 
En même temps, l'équation (4) se réduit à celle-ei : 
$ — (A + A'js + AA'— B°— 0, (6) 
laquelle a ses racines réelles. 
Puisqu’il en est ainsi, la surface X possède trois systèmes de 
cordes principales (***). Mais le nombre de ces systèmes ne peut 
dépendre du choix des axes; donc les trois racines de l’équa- 
tion (4) sont réelles (”). 
(‘) Caucay, Exercices de Mathematiques, t. IV, p. 141. 
(*) Manuel des Candidats à l'École polytechnique, t. H, p. 42. 
(‘**) Pour faire disparaître le terme en «y, on fait tourner les axes Ox, 
Oy dans leur plan, en les laissant rectangulaires; etc. 
(*) Démonstration donnée à l’École polytechnique. Si je la rappelle, c'est 
parce que, fréquemment, on en voit paraître d’autres, fort compliquées. 
(Mai 1888.) 
