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CCLXXXIX. — Équations dont toutes les racines 
sont imaginaires. 
(Mars 1869.) 
1. THéoRÈnE. — Si l'équation {(x)—0 (*) a toutes ses racines 
réelles et inégales, l’équation obtenue en égalant à zéro la seconde 
ACL 1 . . . . 
dérivée de , a toutes ses racines imaginaires. 
Soit 
1 
Vi ñ ; 
et, par conséquent : 
A ASE a 
fai 15 
L'équation y"—0 est done 
EE 0: (1) 
Or, si l'on suppose 
Fa) = (& — d){r — 0) + (x — #, (2) 
on a : 
RS SI en MR ALU. 
fera Ê 2 (x — a) 
ou 
PAR NS CE & 
rt D eme G) 
puis 
NT Là 
pris 6 
Le premier membre de l'équation (1) étant une somme de 
carrés, cette équation n'a aueune racine réelle (**). 
(°) f{æ) est un polynôme entier. 
(*) C’est à peu près ainsi que le théorème a été démontré par M. Agarrat 
(Nouvelles Annales, 1849, p. 445). 
