(2%5 ) 
Addition. — (Mai 1888.) 
II. THÉORÈME. — Si l’équation f(x) — 0 a toutes ses racines 
réelles, l’equation 
f"—f" =0, (A) 
a toutes ses racines imaginaires (*). 
IT. THÉoORÈME. — Si l’équation 
fl" — [0 
a des racines réelles, l’équation {(x)—0 a des racines imaginaires. 
IV. Application. — Soit f{x)—=X,, X, étant un polynôme de 
Legendre. On sait que toutes les racines de X,— 0 sont réelles. 
Conséquemment : 
L’équation 
ŒX, (ie) : à 
LAde dx} (8) 
n’a aucune racine réelle. 
V. Remarque. — On sait que 
F 2 
2X, = (x +1) + (| (x + 1) (x — 1) 
De plus, si l’on fait 
f(@) = x" + le + EE + + HE +1, (5) 
toutes les racines de f(x)— 0 sont réelles (***). Donc le théorème 
ci-dessus (IT) est applicable. 
(‘) Évident par la formule (5). 
(**) Premier Mémoire sur les fonctions X,, p. 13. 
("**) Zbid., p. 52. 
A5 
