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Soit, par exemple, n — 5; d'où : 
f{x)= 2 +92 +9r+1, fx) =5(+6x+3), f—6(x+53). 
L'équation (A), développée, est 
nt + 19x° + Dax + D2x + 21—0: 
elle n’a aucune racine réelle (”). 
VI. Autre application. — L'équation 
Un b, À k 
+ + 
T0 DE 0 Fa y! 
a ses racines réelles et inégales (**). 
On peut donc prendre, dans l'équation (A), 
f(x) = (x — a)(x —b)... (x —k) — > aa — bj(x —c). (x —k)("). 
VII. Remarque. — On pourrait supposer que, si la proposée 
a des racines imaginaires, la transformée a, nécessairement, des 
racines réelles. E n’en est rien. Soit, en effet, 
f(x) = x(a° — 1) (x° + 1). 
On trouve 
PRET ST  MDr EE EAUS 
et ce trinme ne s’annule pour aucune valeur réelle de x. 
(‘) Dans les Nouvelles Annales, 1848, page 568, on énonce, sous le nom 
de Gauss, une propriété qui résulte de la formule de Rodrigues. En outre, 
l'équation f(x) = 0 (5) étant une simple transformée de X,— 0, le théorème 
sur la réalité de ses racines ne doit point être attribué à M. H. Laurent. 
(**) Voir, par exemple, une Note de Binet (Journal de Liouville, t. I, 
p. 250). 
(**) Nous citerons encore, comme équation proposée, celle que l'on ren- 
contre dans la fhéorie des inégalités séculaires, et dont un cas particulier 
fait l’objet de la Note CCLXXXV. 
