(243) 
Posons, pour abréger : 
q + 99° +25q%+49q9+ +. — À, 
49° +169"+56g"+64q"+ + = À’, 
ON RES A ER 
, 
q— q + q“— g+..—8B 
Le premier membre de l'égalité (15) devient 
A+ (A — A')(B+ B')—(A + A’) (B— B)— À + 2(AB'— BA’) 
Ainsi 
À + 9(AB’ — BA')— qP°, 
Chaque terme de AB a la forme 2°q*"*; (x ümp., y pair) 
9 2? + y? 
chaque terme de BA” a la forme y°?q 
Conséquemment, notre égalité (13) se réduit à 
Ÿxq” + 2Y(x° — y)q" + — Pi. 
(14) 
D’après celle-ei : dans le développement de qP5, chaque 
exposant est, ou un carré, ou la somme de deux carrés (*). 
(”") Cette propriété, évidente à l'inspection de l'égalité (15), résulte aussi 
de la formule 
qP5 == q({ LS 5q° re 5q"? LoR 7424 + 9g4° AT 2, 
(11) 
En effet, dans la parenthèse, chaque exposant a la forme 2n(n + 1). 
Donc, tout terme du premier membre contient une puissance de q marquée 
par 
Qn(n + 1) + An/(n' +1) +1. 
Or, si l’on mulliplie et qu’on divise par 2, ce trinôme devient 
WI 
to | —= 
[(2n + 1)? + Qn’ + 1}] = 
[(œ + y} + (œ — y} ] = 2° + y?. 
Notons, en passant, que : Le quadruple de la somme de deux nombres trian- 
gulaires, augmenté de 1, égale une somme de deux carrés (ou égale un carré). 
Par exemple, 
5.6 9.10 
«| 
— 241 — 1(°? 2 
5 3 1 =eu 10 +11? 
