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2 Il est visible (et connu) (*) que 
(6x + 1) + (6y + 1) — 2 [ (5x + 3y + 1) + (3x — 5y}°] 
Donc l'équation (25) devient 
An +1 = (5x + 5y + 1} + (5x + 5y}, 
ou, finalement, 
A9n +1 = (3u + 1) + (5v)'; 
u, v étant des quantités entières, positives ou négatives (**). 
Par conséquent : 5 L, égale l'excès du nombre des valeurs 
paires, sur le nombre des valeurs impaires, de v. 
X. Remarque. — Ce nouvel énoncé suppose que 12n + 1 
n’est pas un carré parfait (***). Lorsque 19n + 1 a la forme X, 
la valeur de L,, déduite de la règle (25), doit être augmentée 
d'une unité. 
XI Autre remarque. — Si 19n + 1 est un nombre premier, 
comme il a la forme 4 + 1, il est décomposable, d'une seule 
manière, en une somme de deux carrés : l’un est (5u + 1}?; 
l’autre, (30). On est done conduit à ce petit théorème d’Arith- 
métique, à peu près évident : 
Tout nombre premier, de la forme 124 + 1, est la somme des 
carrés d’un multiple de 5, et d’un multiple de 3 augmenté ou 
diminué de 1 ("). 
() Voir, par exemple, le Mémoire de M. Genocchi (Nouvelles Annales, 
t. XII). 
(te) De 
DER YU Ut Di y = v) 
on conclut que : 
Si « et v sont pairs, x et y sont de même parité; 
Si u et v sont impairs, x et y sont de parilés contraires ; 
etc. 
("*’") C’est le cas d'exception signalé plus haut. 
(”) Dans le cas considéré, L,=— + 2, selon que v est pair ou impair. 
