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CCXCVI |‘). — Sur le Problème de Pétershourg (“). 
(Décembre 1877.) 
I. « Pierre, se proposant de jeter en l’air une pièce de mon- 
naie, promet de donner à Paul 1 ducat si, dès le 1° coup, cette 
pièce étant tombée, montre la face; 2, si cela n’arrive qu’au 
2° coup; 4, si ce n’est qu’au 5°, et ainsi de suite, en doublant 
à chaque coup. On demande le sort de Paul. » 
Les probabilités de l’arrivée de face, au 1° coup, au 2°, …, 
au n°", sont 
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Les gains correspondants sont 
150 00 4, RS 2"! ducats. 
Par conséquent, le sort de Paul (ou son espérance mathéma- 
tique), est 
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pas (eee ee) 2 
2 2 2 2 2 
« Or (dit Lacroix), puisqu'il n’est pas impossible que face 
» n'arrive qu'après un nombre de coups plus grand que tel 
» nombre qu'il plaira d'’assigner, ne s’ensuit-il pas qu'avant 
» de commencer le jeu, il faut supposer ce nombre infini ? 
» La mise de Paul doit donc être infinie; mais quel homme 
» sensé voudra risquer à ce jeu, non pas une somme infinie, 
» ce qui est absurde, mais même une somme tant soit peu forte ? 
» Voilà le paradoxe que les géomètres ont cherché à expliquer. » 
On n'a peut-être pas fait attention à ceci : Pierre, qui promet 
à Paul de lui donner 1", 2°, 4", 8°, …, doit commencer par établir 
(‘) Extraite d’un Traîtlé inédit. 
(*) Proposé à Montmort, par Nicolas Bernoulli (Mémoires de S'-Péters- 
bourg, vers 1720 ; Analyse des jeux de hasard). 
