( 249 ) 
qu'il est en état de payer. Si Pierre disait : « Voilà une somme 
» de 1024 francs, sur laquelle vous préleverez 1', 2°, 4°, 8°, …., 
» si face arrive au 1°" coup, au 2°%°, au 5°%°, … Si, au 11*"° coup, 
» je n’ai pas amené face, la partie sera nulle, et nous retirerons 
» nos mises »; il n'y aurait plus de paradoxe : l'enjeu de Paul 
devrait être Æ) (@): 
IL. Variante. — Pierre promet, à Paul, de lui donner 1!, 
ième 
DR... SU FACE GNNIVENGU AD COUP, au 22, au nn 
Quelle est l’espérance mathématique de Paul? 
ue {y ! dl {y JR 
= A X 9 +) X 9 ++ n x 9 == Dnion ion 
pr 
Cette quantité E tend, très rapidement, vers 2. D'ailleurs, 
la probabilité que Paul gagnera (la partie s'arrétant, au plus tard, 
au n°" coup) est 
1 1 1 dl 
= + —+e + — —1 — ; 
DNA 27 D 
: D'Un ‘ 1 
et la probabilité que Pierre gagnera est seulement =: 
Si donc la mise de Pierre est n francs, la mise de Paul doit 
être, d’après la règle des paris : 
9" 
m= n- <« 2nf. 
9n—1 
I n’y a plus rien d'excessif. 
(‘) Poisson a fait une remarque analogue à celle-ci (Recherches sur la 
Probabilité des jugements, p. 75). 
