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d) Si les observations conduisent à des valeurs æ,, x, .…, 2%, 
égales entre elles, la fonction @ égale la valeur commune des 
quantités æ (*). 
(*) La démonstration donnée par Encre (Astronomische Nachrichten, 
1854-57) de l’admissibilité générale de la moyenne arithmétique repose 
sur ce postulat : la valeur la plus convenable du résultat de deux observa- 
tions, est leur moyenne arithmétique. I] n°y a, à notre avis, aucune difficulté 
à admettre ce postulat, mais la démonstration présente, dans la suite du 
raisonnement, des imperfections qui en détruisent quasi l'importance. 
Voir à ce sujet les observations faites par M. G.-V. ScaraPARELLI dans une 
Note publiée dans les Rendiconti dell Istituto Lombardo, anno 1868. 
Dans cette même Note M. ScuraPpaRELLI a donné deux démonstrations 
différentes et très ingénieuses de la moyenne arithmétique, en admettant 
les postulats suivants : 
Pour la première démonstration, les postulats a), b), c) ci-dessus énoncés, 
et, de plus, une autre condition qui peut s’énoncer ainsi : Si, en mesurant 
deux quantités X, Y de la même espèce, on a obtenu les observations d’égale 
précision æ,,æ,,..…, æ, pour la première, y,, y,, …, y, pour la seconde, 
et, si (2,7, … æ,), ?(Y1Ya + Y,) Sont les valeurs les plus convenables 
à choisir pour les quantités X, Y, la valeur la plus convenable de la somme 
X+7Y doit s'exprimer par 
P(Ti + Vis Da H Ua ce) On HF Yn)- 
Dans sa seconde démonstration M. ScuraparELLI se fonde sur ces deux 
postulats : 1° la valeur la plus convenable à tirer de deux observations est 
leur moyenne arithmétique; 2° si l’on appelle x,, x,, …, æ, les n valeurs 
fournies par des observations directes d’égale précision, pour une certaine 
quantité mesurée, et si o(x,x, … æ,) est la valeur la plus convenable, 
cette valeur peut aussi être exprimée par »(æ,æ!, … æ!), où æ,, 2, …, æ, 
sont les moyennes arithmétiques suivantes : 
5 La ds + Dn-1# Un 
=", x, = 
* n— 1 
Ty ke + Ty +T +; ; LT FL +: + Lu--1 
D = "2% CS Du = ————— . 
n— 1 
En d’autres termes, les quantités x’, , x, , …, x’, peuvent être regardées 
comme des valeurs fournies par des observations directes, auxquelles on 
peut appliquer la même forme de fonction +, que l’on applique aux obser- 
VAtIONS Ti, Lo...) Le 
