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Soit Y(z) la probabilité relative de l'erreur z, ou, plus exacte- 
ment 4(z)dz la probabilité que l'erreur d’une observation tombe 
entre les valeurs z et z+ dz. Si l’on a effectué les observations 
Lys Los Lx Ia probabilité que + soit la vraie valeur de la 
quantité mesurée (en vertu du théorème de Bayes sur la proba- 
bilité des hypothèses) est propotionnelle au produit 
D? — xs). gp — 22) 4 — x). 
La valeur la plus convenable pour o est, selon Gauss, celle 
qui correspond au maximum de cette probabilité. Si l’on dénote 
par F(z) la fonction 
la fonction o, est, en conséquence, déterminée par l'équation : 
Fo — 203) + Fe — x) + ++ + F(? — x,) = 0. (1) 
Il est évident que l'expression (ou les expressions, s’il y a plus 
d'une solution) qu'on tire de cette équation, pour +, n'est pas 
sujette à varier lorsqu'on permute arbitrairement les quantités x. 
Les notations étant les mêmes, Laplace détermine la fonc- 
tion @ de manière que le risque total d’erreur soit minimum. 
Cette condition est vérifiée lorsque ® est déterminé par l'équation 
? 
ou dy — 2). Hy — 2)... (y — x, )dy 
1 ÿ ob (2) 
mo 1É y — 2). y — x) y — x,)dy, 
où a et b sont les limites extrêmes entre lesquelles la vraie 
valeur de la quantité mesurée peut être comprise (”). 
() Six, æ,, 
vraie valeur de la quantité mesurée soit ©, le produit 
.…, æ, Sont les valeurs observées, et si l’on suppose que la 
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H.Y{y— æ,). g(y — æ).… dy — di), (&) 
(où H est une constante) dénote la probabilité que l'hypothèse » soit affectée 
de l'erreur : y — >. La valeur absolue de la différence y— +, mesure, selon 
