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Si l’on indique, respectivement, par x,, x, la plus grande et 
la plus petite des valeurs x observées, et par — €, s’ les limites 
de l’erreur d'observation, on a 
AXE. bre 
Pour toute valeur de y comprise entre a et b, les facteurs du 
produit, qui se trouve sous les intégrales dans l’équation (2), 
sont tous positifs et différents de zéro. Lorsque y — a, le facteur 
d(a— x,) s'annule; lorsque y — b, c'est Y(b — x,) qui devient 
égal à zéro; car ces deux facteurs expriment les probabilités des 
erreurs limites — €, €’. 
L'expression de +, déterminée par l'équation (2), est, elle 
aussi, symétrique par rapport à %4, Lo, «…., Lys 
La théorie de Gauss, aussi bien que celle de Laplace, con- 
duisent, comme il est connu, au principe de la moyenne arithmé- 
tique, lorsqu'on admet que la loi de probabilité des erreurs est 
donnée par la fonction : 
y(z) = AeTt*, 
3. Le postulat b) exige que, en multipliant x,, x, …, &, par 
un nombre constant c, la valeur & soit aussi multipliée par ce 
même nombre. On doit entendre ce postulat à ce titre, que : 
si l’on fait varier dans le rapport de c à 1 l'unité de mesure 
Laplace, la perte ou le désavantage correspondant à la même erreur. Le risque 
mathématique total, relatif à l'hypothèse y = ?, s'obtient alors, suivant les 
principes du Calcul des Probabilités, en multipliant les valeurs numériques 
de toutes les erreurs possibles par leurs probabilités respectives. Ce risque 
total est donc | 
J'w- ?) . Y{y — æ)… ua dy + fr —y).v y Lil y—Ln\dy. (B) 
& ? 
Les limites a et b sont les valeurs de y qui annulent la probabilité (x). 
Cela posé, il est évident que, en différentiant (B) par rapport à +, on 
obtient, comme condition du minimum du risque total, l'équation (2) 
donnée dans le texte. Nos notations sont quelque peu différentes de celles 
de Laplace. 
