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seront représentées par 
À 
Là ns ’ 
pH == Si, 4p+4 ae SA ... Àp41 Le Sir 
, À pH 
si l’on désigne par À,,, une solution particulière de l'équation (E) : 
les lettres S’ désignent des semi-invariants linéairement indépen- 
dants de caractéristiques w + p +1,r,r,,...n,n,,…; l'indice 
représente le nombre maximum de ces semi-invariants. 
Les valeurs de k, fournies par la suite (D) donneront pour 
},,, une série de {+ 1 expressions linéairement indépendantes. 
On peut voir par là que les valeurs de 4,;, linéairement indé- 
pendantes sont en nombre 
t+l+ 1. 
En continuant de la même manière, on verrait que le cocfli- 
cient k,, peut avoir 
t+l+.. +Tr +1, 
valeurs linéairement indépendantes, si l’on désigne par t le 
nombre de semi-invariants linéairement indépendants de carac- 
téristiques w + p + Ÿ, 7, Tps ee D My ve 
Pour p —0, on aura, à l'unité près, le nombre de semi- 
covariants d'ordre 7» linéairement indépendants. Il faudra 
toutefois remarquer que nous avons supposé k, différent de 
zéro. 
IV. M. Sylvester a déterminé, par une analyse ingénieuse, 
le nombre exact de semi-invariants linéairement indépendants 
de poids et de degrés donnés (*). La méthode suivante présen- 
tera peut-être quelque intérêt, à cause de sa simplicité. 
Nous supposerons qu'il s’agit des semi-invariants de poids w 
et de degré r par rapport à une forme d'ordre n : la générali- 
sation s’indiquera d'elle-même pour le cas de plusieurs formes. 
Désignons par L l'expression la plus générale de caracté- 
(*) Journal de Crelle, t. LXXXV. 
