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ristiques w —1,r,n et contenant (w—1,r,n) termes; cher- 
chons à déterminer une quantité C par la condition 
dC 
— = L. F 
Te (F) 
Écrivons pour C l'expression la plus générale de caracté- 
ristiques w, r, n contenant (w, r, n) termes. L'égalité (F) 
fournira (w —1,r,n) équations de conditions entre les coeffi- 
cients de C et les coefficients de L. Ces équations de conditions 
sont linéaires et indépendantes entre elles, puisque les coefficients 
de L sont supposés quelconques. Il en résulte que l'équation (F) 
aura (w,r,n) —(w—1,r,n) + 1 solutions linéairement indé- 
pendantes. On pourra prendre pour ces solutions 
Co; Co+ Si, Co + S2 DO Co + Sss 
si l'on désigne par C, une solution particulière de l'équation (F) 
et si l’on désigne par les lettres S des semi-invariants linéaire- 
ment indépendants et en nombre {= (w,r,n) — (w—1,r,n); 
en effet, M. Cayley a établi qu'il existe au moins ! pareils semi- 
invariants. Établissons qu'il existe seulement { semi-invariants 
linéairement indépendants. 
Soit S,,, un semi-invariant différent de S,, S2, ..., S,; la 
quantité C = C5 + S,., est évidemment une solution de l'équa- 
tion (F). D'après ce qui précède, on doit avoir une relation 
linéaire de la forme : 
)0Co + A4 [Co Re S,] + A2 [ Co + S;] so 
+ [Co + Si] + An Co + Sun] = 0. 
Le premier membre de cette équation contient un multiple 
de C, et une somme de semi-invariants. La quantité C, n’étant 
pas un semi-invariant, on doit avoir 
1184 QUx A9 Ste AS: +. + MS + Sr — ( : 
cette relation démontre le théorème de M. Sylvester. 
