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touche la surface fondamentale F en un point a, le plan P étant 
dans une position quelconque. 
La droite M’ du plan L se transforme en une surface du 
second ordre, qui passe par la ligne d’intersection P du plan 
P avec F et touche cette surface au point a, et en le plan des 
droites M, M'. 
Les autres points du plan L se transforment en les points du 
même plan. 
Nous avons ainsi obtenu ce théorème : 
Un plan L passant par la droite polaire M d’une droite M qui 
touche la surface fondamentale F en un point à se transforme 
par rapport à un plan P en une surface de second ordre qui passe 
par la conique d’intersection du plan P avec F et touche cette 
surface au point a, puis en le plan des droîtes M, M', et enfin en 
lui-même. 
Quand le plan L se confond avec le plan des droites M, M’, 
les deux plans qui font une partie de la surface dérivée (/,) se 
confondent aussi. Il faut considérer le plan L comme un plan 
double de la surface dérivée, dont la seconde partie est une 
surface du second ordre. 
48. Le plan primitif L rencontre la droite M au pôle p du 
plan P. 
Considérons les droites L du plan L passant par le point p, 
qui font un faisceau (p) et percent le plan P en des points a d’une 
droite A. Aux points a correspondent les polaires L’ des droites 
du faisceau (p). Ces droites L’ se trouvent sur le plan P et 
forment un faisceau (a'), ayant son centre au pôle a' de la 
droite A par rapport à la conique P. 
Le plan P est donc une partie de la surface dérivée dont la 
seconde partie est par conséquent une surface du troisième ordre. 
Chaque droite L du faisceau (p) offre avec la droite M une 
conique l,; qui passe par les points fondamentaux des droites 
(L, M) et par leurs pôles £, m par rapport à la conique d'inter- 
section C du plan (L, M) avec la surface fondamentale (art. 8). 
Le plan (L, M) rencontre P en une droite P qui est la droite 
