(5) 
dans le mémoire Zur Theorie der eindeutigen analytischen 
Functionen, Weierstrass a déduit le théorème B du théorème 4, 
au lieu de passer par le théorème de Laurent (*). Si, comme je 
l'ai fait dans divers mémoires, on poursuit ultérieurement les 
voies ouvertes par Weierstrass, on constate cependant bientôt 
qu'il est impossible de se passer du théorème de Laurent. Il 
n’est toutefois pas nécessaire d'abandonner les considérations 
élémentaires dont se sert l’illustre Géomètre. 
Par suite, il semble d’une importance réelle de démontrer 
le théorème de Laurent sans avoir recours au caleul intégral et 
sans abandonner les éléments de la théorie des fonctions. 
Il est possible d'obtenir une pareille démonstration en présen- 
tant le théorème À sous une autre forme que chez Weierstrass. 
Si l’on examine de plus près la méthode dont se sert le grand 
Géomètre pour déduire le théorème À, on voit sans peine qu’il 
a démontré, en même temps, le théorème suivant, qu'il n’énonce 
toutefois pas sous une forme explicite : 
C. « Soit, dans un continuum À, composé d'une seule pièce, 
f(x) une fonction monogène uniforme, qui ne possède en À 
aucun point essentiellement singulier. Soit ensuite y — g(x) une 
fonction algébrique rationnelle et de degré n de la variable x, 
qui se comporte partout d’une façon régulière en dedans de 2. 
» Les valeurs de y, tirées de l'égalité y — ®(x) quand x 
signifie successivement la totalité des points du continuum À, 
constituent, réunies dans le domaine de la variable y à variabilité 
illimitée, un continuum $ se composant d’une seule pièce. 
» Supposons que À et $ correspondent entre eux de façon que 
toutes les valeurs de x satisfaisant à l'égalité y — ?(x) pour une 
valeur donnée de y, située en dedans de $, soient elles-mêmes 
situées en dedans de 2. 
» Désignons par c un point quelconque, placé sur la limite 
de À ou en dehors de À. Il est toujours possible de construire 
un nombre n de fonctions F(y), Fi(y), …, F,_ ,(y), qui consti- 
{*) Cf. la note, page 47, du travail cité. 
