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sont les génératrices d'un système d’un hyperboloïde à une nappe. 
Ce système est engendré par les faisceaux projecüfs de plans dont 
les axes sont les droites g” et g;, réciproques à g et g, (*). 
Les axes de courbure des trajectoires de tous les points d’un 
plan quelconque 7 sont les sécantes d’une cubique gauche. Cette 
courbe est engendrée par les deux gcrbes collinéaires qui ont 
pour sommets les pôles P” et Pi des plans 7 et r1. 
De plus, ceux de ces axes de courbure qui passent par un point 
P de l’espace engendrent un cône du second degré. Ce cône est 
engendré par les deux faisceaux projeeuifs de plans dont les axes 
g” et g; se coupent en P. 
En conséquence les points de 2 (resp. de Z,) dont les axes de 
courbure passent par P se trouvent sur les droites g ou g, conju- 
guées ou réciproques à g° et Gi. 
&. Les axes de courbure situés dans un plan quelconque de 
l'espace enveloppent une conique, et les plans de 3, qui rencontrent 
les plans correspondants de XZ; suivant ces axes forment, comme 
l’on sait, un faisceau de plans du troisième ordre. En consé- 
quence, les points des systèmes Z et Z,, aux trajectoires desquels 
appartiennent ces axes de courbure, sont situés sur une cubique 
gauche. 
Soit, en effet, :” un plan quelconque de 2. Il donne nais- 
sance, avec À, à un faisceau de plans du troisième ordre qui con- 
tient £” et &. Ce faisceau ne peut pas, en généra!, se décomposer 
puisque &”, « n'ont en commun ni un point, ni une droite cor- 
respondante. Si on le considère comme un faisceau de X/ et que 
l'on désigne le plan e”, considéré comme appartenant à Z? par , 
il lui correspond dans Z” un faisceau formé à l’aide de #” et &. 
Deux plans correspondants de ces deux faisceaux projectifs du 
troisième ordre se coupent alors suivant un axe de courbure situé 
dans le plan #. La courbe du troisième ordre, mentionnée plus 
haut, à laquelle appartiennent les points dont les axes de cour- 
(*) Ce théorème a été démontré par M. Mannheim à l'endroit cité. 
Cf. Haac, Bull. de la Soc. philomathique de Paris, t. VII, p. 450. 
