(9) 
elle satisfait d’ailleurs à la condition (17). On a : 
en (2 —2— 2p} (2n — 2p) 
, 
2p +5 
+1 
NL) = 274 (1 — x°)-<are sin x dx —0; 
AE 
le développement de (are sin x)? ne contient donc pas de terme 
en X,,., Ce qui est évident, (are sin x)? étant une fonction paire. 
Si l’on remplace n par 2n, on aura : 
1x2 (2n — 2 — 2p} (4n — 9, 
F(2n, 2n) — 11 LÉ re e et, . F(2, n + 1). 
2p + 5 
,+t 2+1 
F(2, n + 1) — Q (Po = 2 f (1 — x°)" dx 
—41 4 
+1 
+ 2 f. x arc sin &.[1 — x°)"-: dx. 
—1 
On trouve, après quelques réductions, 
2n + 2 2.4.6...2n 
On +1 1.5.5..(2n +1) 
oo en) 
1.5.5... (07 + 1) 
X 2n(2n — 1)... (n + 2); 
F(2, n + 1) —=4. 
2.4...(2n + 2) 
et par l'équation (15) 
“ 2.4.6...(9n —2)|° 
Va X,, (are sin x) dx = 4 a rou) : (177) 
1.5.5...(2n + 1) 
—1 
ou encore, en tenant compte de l'égalité 
41.5...(2n —1 
Con TE 27 : + l , 
1.2.5...n 
+1 . 9% 72 
di. X2, (arc sin x) dx = —— — : 
[2n(2n +1 ) CE 
—1 
