(10) 
On aura, par suite, cette formule : 
1 : > An+l gere 
— (are sin x) = const. + Ÿ —— — AGE 
2 —: [2 (On + 1) (DE 
la valeur de la constante est 
9 
1 +1 T° 
const. = — f (arc sin x) dx = — — À, 
20 8 
En 
d'où 
1 ABC E Ne >  An+i PE 
— (are sin x) = —— | + > — | |X,.. (18) 
2 8 L on (2n + DF (Da 
La fonction are sin x satisfait également à l'équation (15), pour 
les mêmes valeurs de o(n) et de L(n). 
On trouve pour cette fonction le développement : 
D 
— are sin 2=Y (än + 5) | 
0 
a 
4 
1.2.5...(9n —1)1°., 
Æ Ke 
2.4.6. (2n + 2) 
ou encore : 
2 . $ An + 6) Con .n Ÿ 7 
= ALC SIN — ÿ ———— | —— | X,u. (19) 
T à (27 + 2) |: 27 
Cette formule a été obtenue, pour la première fois et par un 
procédé tout différent, par M. Baüer (*). 
6. La fonction 
_— el are sin æ 
ÿ 
satisfait à l'équation (15) pour 
o(n)—=2n —5, y{n)—={(n — 2} + w; 
nous supposerons ici que y. est réel. 
On aura à chercher les valeurs des intégrales définies 
F(2,n +1), F(l,n +1) 
(*) Journal de Crelle, t. LVI, p. 1114. 
