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7. Conséquences d'un développement du polynôme X,. 
Le développement dont il s’agit est : 
LUX, — Con, n COS Na + Con _9,n—1 Cou COS (R — 2) à + .… | 
+ Co, _ op,n— p Cap, p COS(R —2p)a +++ Cny COS Na, ) 
dans lequel on a : 
COS a = X. (25) 
Multiplions le premier membre de l'équation (22) par f(x)dx, 
le second par /(cos x) sin « da, d'après l'équation (25); intégrons 
par rapport à x entre les limites —1 et + 1, nous devrons inté- 
grer, relativement à «, entre les limites 0 et 7. 
Si, pour abréger, nous faisons 
p(a) — f(cos a) sin à, 
nous aurons : 
n—1 
4? +1 4 
= / fe) Xe dx = D Co Can 71 g(œ) cos (2n — 2p)adx 
—=0 € 
=£ Ü 
1 T 
+3 / g(x)da; 
5 
q?n+t +1 
2 fl) Xousa de 
2 
= 
n Tr 
=) Crsne 2p, 2n + 1—p Cars g(x«).cos (An © me (| ES 2p) ax. 
p=0 . 
(0 
Soit A, le coefficient de X, dans le développement de f(x) 
suivant les polynômes de Legendre, et B, le coefficient de cos n« 
dans le développement de o(&) suivant les cosinus des multiples 
de « : les égalités précédentes se transforment en une seule : 
2 NE 
TN + 1 
A, = Ù (0 —2p,n —p Cp B, 23 (24) 
p—0 
le signe sommatoire se rapportant aux valeurs p—0, 1, 2, 5, …, 
|| o o . o 
ou 0, 1,2, , —— : suivant que n est pair ou impair. 
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