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d'inflexion de leur trajectoire, est une cubique gauche (*), qui, 
dans certains cas spéciaux, peut se réduire à une droite. Il reste 
donc à donner la solution des autres problèmes qui ont été men- 
uionnés. 
4. Soient de nouveau 2, Z;, 2, … les positions successives 
du système solide, et 2”, ZE}, °, … les systèmes correspondants 
des plans normaux : alors, comme je l'ai montré, 2”, 3}, 2, … 
sont des espaces collinéaires, puisqu'ils sont réciproques aux 
espaces congruents 2, 21, ZX, … 
Soit maintenant P un point quelconque de à, les trois plans 
normaux #', 7, #> Se Coupent en un point P‘, qui est le centre 
de la sphère osculatrice correspondant à la trajectoire de P. 
En conséquence, l correspond, à chaque point P de Z, un point 
P°, et les points P° forment un système de l’espace. 
2. Réciproquement, il ne correspond à chaque point P° qu’un 
seul point P de X. Pour le démontrer, cherchons à quelle con- 
dition P° pourrait être en même temps le centre Q° de la sphère 
osculatrice de la trajectoire décrite par un point Q. Le point P° 
est l'intersection des plans normaux 7”, #1, #:; de mème Q° est 
déterminé par les trois plans normaux #, z,, ,. 
Soit maintenant g la droite de Z qui contient P et Q ; alors 
les trois droites conjuguées à g, g’, gi: g:, intersections des cou- 
ples de plans rx, 7x, rx, Se Coupent en un seul et même 
point P°. Mais, dans ce cas, le centre de la sphère osculatrice de 
chaque point R de g coïncide avec P°, car, puisque R est sur g, 
le plan normal correspondant p” passe par g” et de même p;, par 
Gi p2 par g2. Par suite p”, 9}, p; se coupent en P°. 
Or, si chaque point de g décrit une trajectoire dont la sphère 
(‘) J'avais déjà envoyé le travail cité, lorsque j’ai eu connaissance d’un 
mémoire de M. Mehmke, inséré dans le dernier cahier de 1885 du Cüivit- 
ingenieur, qui contient ce même théorème. La concordance des résultats, 
obtenus par des méthodes entièrement différentes, est d'autant plus heu- 
reuse que la question de la détermination de ce lieu a longtemps occupé 
les géomètres sans être résolue d’une façon satisfaisante. 
