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osculatrice a son centre en P°, on en conelut que tous les points 
de la droite invariable 4 se meuvent, pendant trois instants con- 
séculifs, sur des sphères concentriques, dont le centre est P°. 
Mais cela n’est évidemment possible que si le mouvement de Z 
pendant le temps considéré, est une rotation autour du point P‘; 
nous avons expressément exclu ce cas. 
De ce qui précède, se déduisent immédiatement les théorèmes 
suivants : 
3. Les centres des sphères osculatrices des trajectoires des 
points P de Z situés sur une droite g, appartiennent à une cubique 
gauche (*). Cette courbe est engendrée par les trois faisceaux 
projectifs de plans dont les axes sont les droites g”, gi, g>, con- 
Juguées de g. 
4. Les centres des sphères osculatrices des trajectoires des 
points P de Z situes dans un plan €, forment une surface de troi- 
sième ordre. Elle est engendrée par les trois gerbes collinéaires 
de plans, dont les sommets sont les pôles E”, E;, E des plans 
En C4» Ege 
5. Si les points P° de X° sont situés sur une droile g°, les points 
P de >, dont les trajectoires ont pour centres des sphères oscula- 
trices ces points P°, appartiennent à une cubique gauche. 
En effet, soit s un plan quelconque de Ÿ; les points corres- 
pondants P° sont, comme nous l’avons vu, sur une surface du 
troisième ordre. Il existe donc trois des points de cette surface 
sur g°, c'est-à-dire qu'il existe dans chaque plan trois points P 
pour lesquels les points correspondants P° sont sur g°. 
6. Si les points P° de X° sont dans un plan :*, les points cor- 
respondants de À, dont les trajectoires ont pour centres des sphères 
() Ce résultat a été également donné par M. Mannheim. Cf. Sur les tra- 
jectoires des points d’une droite mobile dans l’espace (COMPTES RENDUS DE 
L’ACAD. DES SCIENCES DE Paris, t. LXXVI, p. 655). 
