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parallèles dès que nous saurons la position CF de l’une d’elles 
dans l’angle droit ECD. Alors CG, placé sous le même 
angle GCE — ECF de l'autre côté de la perpendiculaire CD, 
donne la seconde parallèle à AB. Enfin, les deux parallèles CF, 
CG avec leurs prolongements CE", CG' au delà de C forment 
deux angles opposés GCF, G'CE', qui comprennent toutes les 
non sécantes par rapport à AB. 
Par ligne parallèle à une autre, nous n’aurons en vue dans la 
suite que le cas où toutes deux sont menées d'un même côté 
d'une troisième qui les rencontre. Ainsi CF est parallèle à DA, 
CG’ à DB'; car elles se trouvent d'un même côté de la ligne CD. 
D'un point donné, on ne peut done mener à une ligne qu'une 
parallèle dont le caractère distinctif est que le plus petit écart 
d'un côté en fait une sécante, et le plus petit écart de l’autre 
côté en fait une non sécante. Si, par exemple, CF est parallèle 
à AD, CH est une sécante, CH une ligne non sécante par 
rapport à AD, si petits que soient les angles FCH, FCK. 
On envisage ainsi le parallélisme dans toute sa généralité. 
Euclide, n'étant pas en état d’en fournir une preuve suflisante, 
a admis dans la géométrie usuelle Le cas particulier où les deux 
parallèles doivent être à la fois perpendiculaires à une même 
droite. De ceute façon, l'angle ECF et l'angle GCF avec son 
opposé F'CG' disparaissent; toutes les lignes, sauf la parallèle, 
doivent couper AB si on les prolonge suffisamment de l'un ou 
de l’autre côté. Les successeurs d'Euelide n'ont fait que com- 
pliquer la question par des suppositions complémentaires, arbi- 
traires ou obscures, en s’efforçant de démontrer la justesse de la 
vérité admise, ce qu'il était impossible d'établir d'après l'essence 
même de la géométrie. 
Étant donnée une parallèle à une ligne, l'angle de la parallèle 
avec une perpendiculaire menée à la seconde ligne sera appelé 
angle de parallélisme relatif à cette perpendiculaire. Nous repré- 
sentons l'angle lui-même par El (p), p désignant la perpendicu- 
laire. Observons seulement que l'expression II (p) ne représente 
aucune fonction analytique, mais sert seulement à indiquer que 
l'angle T1 (p) se rapporte à la ligne p. 
