(5) 
94. Deux lignes ne concourent pas lorsqu'une troisième les 
rencontre du même côté sous le même angle. 
Soit la droite AB (fig. 90) qui rencontre les deux lignes CD, 
BE du même côté, sous l'angle ACD = ABE; si cet angle est 
droit, CD et BE ne peuvent concourir (n° 48); s’il est aigu, 
l’angle adjacent sera obtus. Supposons que ABE soit aigu, alors 
la perpendiculaire FG abaissée du milieu F de la ligne BC 
sur BE tombera dans l'angle ABE, tandis que la perpendiculaire 
abaissée de F sur DC rencontre le prolongement de DC en H. 
On aura deux triangles rectangles égaux CHF et GFB, car 
CF — FB, < FCH — < FBG (n° 87); par conséquent, les deux 
angles égaux CFH, BFG sont opposés par le sommet et sont 
formés par la rencontre des droites BC, GH; par suite, les deux 
perpendiculaires DH, GE sur GH ne peuvent se rencontrer. 
95. Tout point d’une ligne peut être pris pour l’origine à 
partir de laquelle cette droite devient parallèle à une autre. 
Soit AB (fig. 91) la perpendiculaire à une droite BC, abaissée 
du point À, origine de la droite AD parallèle à BC; alors 
toute autre ligne AC, menée de A dans l'angle de parallélisme, 
coupe BC. Il faut démontrer que si l’on prenait un point E ou E’ 
de l’un ou de l’autre côté du point A sur la ligne AD et sur 
son prolongement en AE’, les perpendiculaires EF, E’F' à BC 
formeraient un angle de parallélisme DEF ou DE’F' à l'intérieur 
duquel une ligne menée du sommet E ou E’ coupe F’C. 
Menons à l’intérieur de l'angle DEF, à partir du sommet E, 
une droite quelconque EG. Aussi longtemps qu'elle ne coupe 
pas BC, joignons son extrémité G au point A par une droite AG 
dont le prolongement doit rencontrer EF quelque part en H et 
ensuite BC quelque part en C. On obtient ainsi un triangle FHC 
dans lequel pénètre EG; mais comme elle ne peut couper 
une seconde fois ni HF ni HC, elle doit couper FC quelque 
part en K. 
Menons arbitrairement à l'intérieur de l'angle DE'F', à parur 
du sommet E’, une ligne E’K’, qui, se trouvant à l'intérieur du 
quadrilatère ABF'E’, ne peut couper une seconde fois ni E’F 
