(15) 
donnent DE — EB. Des points D, E, B abaissons sur AC des 
perpendiculaires DF, EG, BC. Faisons GH — DFE, CK = GE et 
joignons les extrémités D à H, E à K par des droites DH, EK 
qui doivent faire avec les perpendiculaires des angles aigus 
FDH — DHG, GEK — EKC. Partageons GC en parties égales 
en Let élevons jei la perpendiculaire LM qui rencontre perpen- 
diculairement EK en son milieu M et coupe BE en N. Cette 
perpendiculaire NL rencontre en O le prolongement de DH qui 
détermine un angle aigu DOL (n° 91) à l’intérieur duquel 
tombe la perpendiculaire DP abaissée de D sur LN. Dans les 
triangles rectangles AEG, ABC, nous avons l'angle AEG > ABC; 
dans les triangles DPM, EMN, nous avons l'angle ENM > NDP 
et, par suite, plus grand que EDH. Il s'ensuit que le triangle 
EBK doit prendre la position de DEB’ quand nous le transpor- 
tons, en mettant le côté BE sur son égal DE; de sorte que BK, 
en se confondant avec EB’, coupe DH quelque part en Q entre 
E et B’; par conséquent BK — EB’ > EQ, > EH. 
107. Dans l’hypothèse où l’angle de parallélisme est variable, 
le carré de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est plus grand 
que la somme des carrés des deux autres côtés. 
Soient c l'hypoténuse (fig. 102), «, b les côtés de l’angle droit, 
p la perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle droit sur 
l'hypoténuse qu'elle partage en deux parties : x vers a, c— x 
vers b. En nous appuyant sur ce qui a été démontré plus haut 
la comparaison des triangles nous donne 
a b 
xDa.-;, c—x>b.-. 
€ c 
En combinant les deux inégalités, nous concluons 
Cha be 
108. Dans l'hypothèse où l’angle de parallélisme est variable, 
deux lignes perpendiculaires à une troisième s’écartent d’autant 
plus qu'elles sont prolongées plus loin, de sorte que la perpendi- 
culaire abaïssée de l’une sur l’autre croît à l'infini. 
