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triangle isocèle ACG, la perpendiculaire FG doit aussi passer 
par le centre G du cerele (n° 52). 
Si nous supposons l'angle de parallélisme constant, égal à un 
droit, les perpendiculaires se couperont toujours. Pour le prouver, 
considérons seulement deux côtés AB, BC (fig. 108) opposés 
aux angles aigus À, C. Les perpendiculaires DL, EM élevées au 
milieu des côtés AB, CB traverseraient l'aire du triangle sans se 
rencontrer mais en coupant le troisième côté AC aux points H,K ; 
les prolongements HL et KM des perpendiculaires font avec HK 
des angles LHK, MKH égaux aux angles DHA, EKC des 
triangles rectangles ADH, KEC. Avec ces inclinaisons sur HK, 
les lignes HL, KM doivent de toute façon se couper (n° 401). 
111. Dans l’hypothèse où l'angle de parallélisme est variable, 
les perpendiculaires élevées sur le milieu des côtés d’un triangle 
peuvent converger, diverger ou être toutes trois parallèles. 
Daus le triangle ABC (fig. 109), dont les angles A, C sont 
aigus, la perpendiculaire DE sur le milieu D de AC, en traver- 
sant l'aire du triangle, doit ou rencontrer les deux autres côtés 
en leur point commun, où au moins le plus grand AB en un 
point E. Soit, en outre, FG perpendiculaire sur le milieu F de AB, 
ct appelons a la distance FE de son milieu au point E. Quand F 
tombe entre les points A, E et que l'angle FED < z(a), la 
perpendiculaire FG coupe nécessairement quelque part ED 
(n° 102), pourvu qu'on prolonge ces ligues, et il en est de même 
de la troisième perpendiculaire élevée sur le milieu du troisième 
côté BC. Si done FED > x (a), les perpendiculaires FG, DE ne 
convergent pas et elles ne peuvent rencontrer la troisième. 
Nous allons maintenant prouver que le parallélisme de ‘deux 
d'entre elles entraîne le parallélisme des trois perpendiculaires. 
Soient, dans le triangle ABC (fig. 110), DE, FG perpendicu- 
laires aux milieux D, F des côtés AB, BC opposés aux angles 
aigus À, C. Supposons qu'elles ne rencontrent pas à l’intérieur 
du triangle la perpendiculaire HK élevée sur le milieu H du 
côté AC. Ce sera le cas lorsque DE, FG, en traversant le 
triangle, coupent le troisième côté AC en des points L, M entre 
