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lesquels se trouve compris le pied F de la perpendiculaire HK. 
Les portions LE, MG des perpendiculaires DE, FG, situées hors 
du triangle ABC, feront ainsi avec LM des angles aigus ELH, 
GMA. Si nous supposons DE, FG parallèles, la droite HK ne les 
reñcontre pas non plus, et, comme elle se trouve placée entre 
l'une et l’autre, elle doit nécessairement bien être parallèle. 
En effet, s'il était possible de mener une autre parallèle de H 
à LE et par conséquent à MG (n° 99), HK couperait l’une des 
parallèles LE, MG. 
Si nous supposons DE, HK parallèles, il faut distinguer trois 
s : AB — BC, AB < BC, AB > BC. 
Dans le premier cas, l'angle HLE — HMG, par consé- 
quent MG, comme LE, est parallèle à HK. 
Si AB < BC, la perpendiculaire HK (fig. 111), à l'intérieur 
du triangle ABC, coupe le côté BC en un point N. Menons de A 
à ce point la ligne AN que nous prolongeons d'une longueur 
NB’ — NB; nous obtenons ainsi un triangle isocèle BNB' où HN 
est perpendiculaire au milieu H' de la base BB’. Dans le 
triangle ABB’, les deux perpendiculaires DE, H’K s'élèvent sur 
les milieux des côtés AB, BB’, parallèlement l’une à l’autre, par 
conséquent, parallèlement à la perpendiculaire GA, élevée sur le 
milieu du troisième côté AB’; et comme l'angle GNK — FNK, 
FG doit être parallèle à HK. 
Dans le cas de AB > BC (fig. 112), HK, end ietlaé sur 
le milieu de AC, coupe AB au point N et rencontre ensuite 
perpendiculairement en son milieu H” la droite BB’ que nous 
trouvons en menant CNB par N et en faisant NB’ = NB. Si 
maintenant nous élevons les perpendiculaires DE, PQ aux 
milieux D, P de AB, B’C, nous formons un angle PNK — DNK, 
et par conséquent les trois lignes DE, NK, PQ doivent être 
toutes trois parallèles. Cela posé, dans le triangle B'BC, les 
perpendiculaires H’K, PQ partent des milieux des côtés BB, 
B'C, et FG perpendiculaire sur le milieu F du troisième côté BC 
sera également parallèle à KH”, dès que BB' sera < BC. Dans 
le cas contraire, en posant AB — a, NP — b, nous trouvons 
BB’ — 9BH' € 2BN € 2DB — 9ND € a — 2NP € a — 2% 
