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Dans cette proposition nous pouvons entendre par courbe- 
limite aussi bien la droite que la ligne courbe. 
116. Le rapport de deux arcs de la courbe-limite compris 
entre deux axes diffère d'autant moins du rapport de deux arcs 
correspondants de la circonférence tangente que le diamètre est 
plus grand, et la différence finit par s’évanouir lorsque le rayon 
croit indéfiniment. 
Nous trouverons le rapport de deux arcs de la courbe-limite 
ou de la circonférence, en les partageant tous deux en parties 
égales (n° 112). Soit la corde BC = à (fig. 117) de la courbe- 
limite qui répond à cette division; nous la transportons sur la 
circonférence tangente ADE, en la posant, à partir du point D, 
où passe l’axe issu de l'extrémité B de la corde BG. Suppo- 
sons aussi que l'axe issu de l’autre extrémité C rencontre au 
point E la circonférence tangente et détermine un arc ayant une 
corde DE — f. 
Soient maintenant, dans cette position, les deux cordes AB—x 
(fig. 117), AC — B, et soit D le centre de la circonférence 
tangente; de D abaissons les perpendiculaires DE, DF sur les 
milieux E, F des lignes AB, AC. Nous formons des triangles 
rectangles AED, AFD où l'angle EAD est plus grand que FAD 
ou bien égal ou plus petit suivant que a < B; —6, > 6. 
Supposons que « et sont inégaux et que a est € 6, car l'une 
ou l’autre hypothèse ne change rien à la démonstration. La 
perpendiculaire DE doit donc couper AF quelque part en G, de 
sorte que l’on a AG > AE, d'où 2FG < 2AF — 24AE, < 6 — a. 
Nous en concluons que la distance FG peut être diminuée 
à volonté, par l'accroissement du rayon AD (n° 115). De plus, 
en comparant les triangles rectangles AEG, DFG et en posant GF 
sur GE, GD sur GA, nous voyons facilement que dès que GD 
est > AG, aussi GF est > GE. Toutefois, AG + GD > AD, 
alors que AG peut différer de AE moins que toute ligne donnée; 
par conséquent, quand AD augmente, AG finit par devenir 
moindre que GD et en même temps on a EG < GF. Ainsi, 
l'accroissement du rayon AD, la perpendiculaire EG tend vers 
